一、案例定位

第 8 章機率案例：10 位客戶各自具有 60% 的續約機率，以二項分配描述續約客戶數的機率分布。

二、學習目標

• 辨識二項分配的四個基本條件。
• 計算恰好 6 位續約與至少 6 位續約的機率。
• 理解期望值不是保證結果。

三、案例情境

業務團隊即將與 10 位客戶進行年度續約。若把每位客戶視為一次成功／失敗試驗，並假設每位客戶續約機率皆為 60%、各次結果可近似視為獨立，則續約人數 X 可用二項分配描述。

四、開始資料

五、Excel／R／AI 分析方法

恰好 6 位續約可用 =BINOM.DIST(6,10,0.6,FALSE)；至少 6 位續約可用 =1-BINOM.DIST(5,10,0.6,TRUE)。期望值為 n×p，標準差為 SQRT(n×p×(1-p))。

六、計算結果

七、結果分析與管理解讀

平均而言，10 位客戶可期待約 6 位續約，但「期望值 6」不代表每一批 10 位客戶一定有 6 位續約。恰好 6 位的機率約 25.1%，而至少 6 位的機率約 63.3%。管理者應把 60% 續約率轉成一整個可能結果的分布，而不是只看單一平均值。

八、AI 提問詞

有 10 位客戶，每位續約機率為 60%。在假設各客戶續約結果近似獨立且機率相同的前提下，請用二項分配計算期望續約人數、恰好 6 位續約與至少 6 位續約的機率，並解釋為什麼期望值不等於保證值。

九、思考／情境變動

**問題：**若續約率提高到 70%，10 位客戶的期望續約人數是多少？