案例03｜蘆薈乳液是否縮短曬傷恢復時間：z = −2.5

一、案例定位

第 12 章 one-sample z-test 案例：已知 population mean 與 population standard deviation 時，用樣本平均檢查產品是否改變恢復時間。

二、學習目標

理解 z-test 使用已知 population mean／SD 的情境。
分辨 one-tailed「是否縮短」與 two-tailed「是否有任何效果」。
使用 standard error、z statistic、p-value 與 z-critical 判讀。

三、案例情境

所有曬傷者的平均恢復時間為 30 天、population SD=6 天。某藥廠抽樣 100 位使用蘆薈乳液者，樣本平均恢復時間為 28.5 天，採 95% confidence level（α=0.05）。

四、開始資料

項目	值
Population mean	30 天
Population SD	6 天
Sample size	100
Sample mean	28.5 天
α	0.05

五、Excel／R／AI 分析方法

Standard error：population SD / SQRT(n)。z-statistic：(sample mean − population mean) / standard error。原書以 NORM.S.DIST 取得 tail probability，並用 NORM.S.INV 取得 z-critical。

六、計算結果

結果	原書值
z	−2.5
One-tail p	0.006
One-tail z-critical	1.64
Two-tail p	0.012
Two-tail z-critical	1.96

七、結果分析與管理解讀

One-tailed 問題是「乳液是否縮短恢復時間」：p=0.006<0.05，且 |z|=2.5>1.64，原書判定結果顯著，28.5 天的較短恢復時間支持產品有效。Two-tailed 問題只問「是否有任何效果」：p=0.012<0.05，且 |z|>1.96，因此恢復時間與 population mean 顯著不同。

八、AI 提問詞

請用同一組 z-test 結果分別回答：（1）乳液是否縮短恢復時間？（2）乳液是否造成任何改變？說明為什麼 one-tail 與 two-tail 的商務結論不同。

九、思考／情境變動

**問題：**若樣本平均仍為 28.5 天，但樣本數大幅下降，standard error 會如何影響 z 的絕對值？