포커는 $N= 52$ 의 카드를 가지고 하는 게임이며, 이때 무늬는 스페이드, 다이아몬드, 하트, 클로버로 이루어졌으며 각각의 무늬는 $13$ 장씩의 카드가 있으며 이는 각각 Ace, $1\sim 10$, Jack, Queen, King 으로 이루어졌습니다.
https://www.vecteezy.com/free-vector/poker-cards
포커 게임은 $52$ 장 중에서 $7$ 장으로 승부를 보는 것이며 이기는 카드 순서는 다음과 같습니다.
https://www.xkdisplay.com/ko/how-to-play-poker-card-game-for-beginners.html
이때 다음과 같은 질문들을 대답해주세요.
- 한번 돌리면 $52$ 장 중에서 $7$ 장의 카드를 뽑을 수 있게끔 만들어주세요.
- Monte-Carlo 를 활용해서 다음이 나올 확률을 구해주세요.
- Royal Flush (정확히 저 카드들 + 동일 무늬가 나와야 함)
- Four of a Kind (같은 숫자 $4$ 장)
- Flush (같은 무늬 $5$ 장)
- Two-Pair (같은 숫자 $2$ 장이 $2$ 쌍)
$\Phi(\cdot)$ 을 정규분포의 cdf 함수, 그리고 $\varphi(\cdot)$ 을 정규분포의 pdf 함수라고 한다면, Truncated Normal Distribution 을 다음과 같이 고려해볼 수 있습니다.
$$ f(x ; \mu, \sigma, a, b)=\frac{1}{\sigma} \frac{\varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)} $$
이때 $\mu = -8$, $\sigma = 3$, $a = -5$, $b=0$ 이라고 하면 다음 질문들을 대답해주세요. ($\texttt{pnorm}$ 과 $\texttt{qnorm}$ 사용은 가능합니다)
- Rejection Sampling 을 활용시켜서 $N = 100,000$ 만큼 돌려서 샘플들에 대한 히스토그램을 그리고 그 위에 Truncated Normal Distribution Density Curve 을 그려주세요. 이때 Rejected 된 샘플 수도 구해서 $N = 100,000$ 개를 생성하기 위해서 총 몇번 $\texttt{runif}$ 호출이 필요했는지 확인해주세요.
- Change of Variables 을 활용시켜서 $N = 100,000$ 만큼 돌려서 샘플들에 대한 히스토그램을 그리고 그 위에 Truncated Normal Distribution Density Curve 을 그려주세요. 이때 $N = 100,000$ 개를 생성하기 위해서 총 몇번 $\texttt{runif}$ 호출이 필요했는지 확인해주세요.