Enunciado

Solución

Definición del problema:

1. Urna: Contiene 4 bolitas blancas y 1 roja (total 5).
2. Variable $X$: Cantidad de caras observadas en 3 tiros de moneda.
3. Variable $Y$: Cantidad de bolitas rojas extraídas sin reposición.
4. Regla: Si $X=a$, se extraen $a+1$ bolitas de la urna.

a) Si $X=a$, se extraen $a+1$ bolitas de la urna. La variable $Y$ condicionada a $X=a$ solo puede tomar los valores $0$ o $1$, ya que solo hay una bolita roja en la urna. Por tanto, es una distribución de Bernoulli con parámetro $p_a$.

Para hallar $p_a = P(Y=1 | X=a)$, calculamos el complemento:

$$ P(Y=1 | X=a) = 1 - P(Y=0 | X=a) $$

Utilizando la regla de Laplace para la probabilidad de extraer $a$ bolitas blancas de las 4 disponibles:

$$ P(Y=0 | X=a) = \frac{\binom{4}{a+1}}{\binom{5}{a+1}} = \frac{5-a+1}{5} = \frac{a+1}{5} $$