Este ejercicio analiza la distribución del queroseno en un tanque. La variable aleatoria $X$ representa la cantidad de queroseno al inicio del día, y $Y$ la cantidad vendida durante el mismo. Se sabe que $Y < X$ y ambos valores están acotados entre 0 y 1. La densidad conjunta es $f_{X,Y}(x,y) = 2$ para el soporte $0 < y < x < 1$.
Grafiquemos el soporte de $(X,Y)$:
a. Para hallar la distribución de $Y|X=x$, utilizamos la definición de densidad condicional:
$$ f_{Y|X=x}(y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} $$
Primero, calculamos la densidad marginal de $X$ integrando la conjunta respecto a $y$:
$$ f_X(x) = \int_{0}^{x} 2 \cdot dy = 2x, \quad \text{para } 0 < x < 1 $$
Ahora, dividimos la conjunta por la marginal:
$$ f_{Y|X=x}(y) = \frac{2}{2x} \cdot \mathbf{1} \{0<y<x<1\} = \frac{1}{x} \cdot \mathbf{1} \{0<y<x\} $$