Se parte de la función de densidad conjunta dada:
$$ f_{X,Y}(x,y) = \frac{e^{-2x}}{x} \cdot \mathbf{1} \{0 < y < 2x\} $$
El objetivo es expresar esta función como
$$ f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X=x}(y) \cdot f_X(x) = f_{X|Y=y}(x) \cdot f_Y(y) $$
Al analizar el término de la función indicadora, se identifica que, para un valor fijo de $x$, la variable $Y$ sigue una distribución uniforme en el intervalo $(0, 2x)$. Por lo tanto, la densidad condicional es:
$$ f_{Y|X=x}(y) = \frac{1}{2x} \cdot \mathbf{1} \{0 < y < 2x\} $$
Al separar esta componente, la expresión restante corresponde a la densidad marginal de $X$ con distribución exponencial con parámetro $\lambda=2$:
$$ f_X(x) = 2e^{-2x} \cdot \mathbf{1} \{x>0\} $$
Finalmente, la factorización resulta ser: