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张晶涛25110680057
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题设： $max$ $\sum_{t = 0} ^{\infin} \beta^t \ln c_t, \beta \in (0,1)$
$\ \ \ \ \ s.t. \ \ y_{t+1} = a_t i_t\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c_t + i_t +b_t = y_t +\frac{b_{t+1}}{R_t}$
$\{R_t\}, y_0, b_0$给定， $T\ge3$期时 $a_t \in \{a_h, a_l\}$来回切换。国家A、B之间生产率 $a_t$不同。
把 $i_t=y_{t+1}/a_t$ 代入预算约束，记乘子 $\lambda_t$：
$$ \mathcal L=\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\Big\{\ln c_t+\lambda_t\Big[y_t+\frac{b_{t+1}}{R_t}-b_t-\frac{y_{t+1}}{a_t}-c_t\Big]\Big\}. $$
三个一阶条件 $F.O.C$：
| 选择变量 | 条件 |
|---|---|
| $c_t$ | $\lambda_t=\dfrac{\beta^t}{c_t}$ |
| $b_{t+1}$ | $\dfrac{\lambda_t}{R_t}=\lambda_{t+1}$ |
| $y_{t+1}$ | $\lambda_{t+1}=\dfrac{\lambda_t}{a_t}$ |
预算约束退化为 $c_t+i_t=y_t$，且 $y_{t+1}=a_t i_t$。此时有：
$$ c_{t+1}=\beta a_t\,c_t. $$
自给自足下，第 $t$ 期投入的 $i_t$ 在第 $t+1$ 期产出 $a_t i_t$。记技术的连乘收益率
$$ D_t\equiv\prod_{j=0}^{t-1}a_j,\qquad D_0\equiv1. $$
通过消费的一阶条件，得到： $c_t = \beta^t D_t c_0$
把逐期流量约束 $c_t+i_t=y_t$、$i_t=y_t-c_t$、$y_{t+1}=a_t i_t$ 反复迭代，即：
$i_t = a_{t-1} i_{t-1} - c_t \\ =a_{t-1} (a_{t-2} i {t-2} - c{t-1}) - c_t\\=...\\=D_t i_0 - \sum_{m=1}^{t}\Big(\textstyle\prod_{j=m}^{t-1}a_{j}\Big)c_{m}$，对该式两边除以 $D_t$，得：
$$ \frac{i_t}{D_t} = i_0 - \sum_{m=1}^t \frac{c_m}{D_m} $$
令 $t → \infin$，再带入 $i_0 = y_0 - c_0$ 得：
$$ y_0 = \sum_{m=0}^\infin \frac{c_m}{D_m} \tag{1} $$
求解。 问题化为 $\max\sum_t\beta^t\ln c_t$ $s.t$ 式 $(1)$. 。取乘子 $\mu$：
$$ \frac{\beta^t}{c_t}=\frac{\mu}{D_t}\ \Longrightarrow\ c_t=\frac{\beta^t D_t}{\mu}=c_0\,\beta^t D_t . $$
代入 (1)：$c_0\sum_{t\ge0}\beta^t=\dfrac{c_0}{1-\beta}=y_0\Rightarrow c_0=(1-\beta)y_0$。故