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Indicar qué cuidados hay que tomar desde el punto de vista computacional al implementar el método de refinamiento iterativo en los sistemas de ecuaciones lineales.

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Tras haber obtenido el vector solución x(0) realizamos la operación

r(0) = b - Ax(0)* donde x(0) posee t dígitos significativos. Una vez obtenido r(0) realizamos el cálculo de δx (0) y finalmente calculamos

x(1) = x(0) + δx (0).

Es de vital importancia realizar con doble precisión (2t) las operaciones al momento de calcular el residuo debido a que si tenemos pocos dígitos de precisión estaremos perdiendo información a la hora de realizar este cálculo dado que la resta que estaremos realizando es entre dos vectores con números muy similares entre sí (problema catastrófico)

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Explique cómo podría elegir entre dos algoritmos matemáticamente equivalentes para reducir el error de redondeo cometido al realizar los cálculos.

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Para elegir entre dos algoritmos matemáticamente equivalentes con el objetivo de reducir el error de redondeo, se deben considerar los siguientes criterios clave, enfocándose en la precisión numérica:

1. Número de operaciones: Prefiere el algoritmo con menos operaciones aritméticas, ya que cada suma, resta, multiplicación o división introduce un pequeño error de redondeo.
2. Orden de las operaciones: El algoritmo que ordene las operaciones para minimizar la pérdida de precisión es mejor. Por ejemplo, en una suma de números (), sumar primero los números de menor magnitud reduce el error, ya que evita que los términos pequeños se "pierdan" al sumarse a números grandes.
3. Evitar cancelación sustractiva: Si un algoritmo implica restar números muy cercanos (por ejemplo, donde ), el error relativo puede aumentar. Elige el algoritmo que reformule la expresión para evitar estas restas.
4. Magnitud de los operandos: Un algoritmo que maneje operandos de magnitudes similares o que reescale los datos (por ejemplo, dividiendo por el mayor valor) reduce la pérdida de precisión.
5. Estabilidad numérica: Evalúa cuál algoritmo es menos sensible a pequeñas perturbaciones en las entradas. Un algoritmo con un número de condición más bajo es preferible.

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Indique el efecto que causa resolver una matriz mal condicionada mediante un método directo y mediante un método iterativo.

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Una matriz mal condicionada tiene un número de condición alto, lo que indica que pequeños errores en los datos de entrada (como el redondeo) o en los cálculos pueden amplificar significativamente los errores en la solución.

Métodos directos:

• Efecto: Los métodos directos resuelven el sistema mediante operaciones exactas (como pivoteo) en un número finito de pasos. Sin embargo, en una matriz mal condicionada, los errores de redondeo en las operaciones aritméticas (sumas, restas, divisiones) se amplifican debido a la alta sensibilidad de la matriz. Esto puede llevar a soluciones numéricamente inestables, con errores significativos en los resultados, especialmente si no se usa pivoteo adecuado.
• Ejemplo: En la eliminación gaussiana, restar elementos cercanos (cancelación sustractiva) en una matriz mal condicionada puede magnificar errores.

Método iterativo (por ejemplo, Jacobi o Gauss-Seidel):

• Efecto: Los métodos iterativos generan una secuencia de aproximaciones que convergen hacia la solución. En matrices mal condicionadas, la convergencia puede ser lenta o inestable, ya que los errores iniciales o de redondeo se propagan y amplifican en cada iteración.

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Indique como se vinculan el orden de la derivada, el orden del error y la cantidad de puntos en una estimación numérica de una derivada. Explique de que depende el error y si el mismo es de redondeo o de truncamiento.

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