Enunciato

Sia $H = \langle g \rangle$ un gruppo ciclico generato da $g$. CI sono due possibilità per la struttura di $H$:

1. Caso Infinito: $H$ ha cardinalità infinita ed è isomorfo al gruppo degli interi $(\Z,+)$.
2. Caso Finito: $H$ ha cardinalità finita $p$ (dove p è il "periodo") ed è costituito dagli elementi $\{1,g,g^2,…,g^{p−1}\}$.

Esempio

$$ \underline{\text{Esempio}} \quad \mathcal{G} = (\mathbb{Z}, +) = \text{gruppo ciclico infinito} = \langle 1 \rangle = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots, i \} \\[10pt] % Spazio verticale % Definizione di ii = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}{i \text{ volte}} \\[10pt] % Definizione di -i-i = \underbrace{(-1) + (-1) + \dots + (-1)}{i \text{ volte}} \\[5pt]-1 = \text{opposto di } 1 $$

$$ (\mathbb{Z}4, +, \cdot) \\[5pt] \mathbb{Z}4 = \{ [0], [1], [2], [3] \} \\[10pt] (\mathbb{Z}4, +) \qquad g = [1] \\[10pt] \langle g \rangle = \langle [1] \rangle = \Bigg\{\underbrace{[1]}{g}, \quad\underbrace{[1]+[1]=[2]}{g^2}, \quad\underbrace{[1]+[1]+[1]=[3]}{g^3}, \quad\underbrace{[1]+[1]+[1]+[1]=[4]=[0]}_{g^4}\Bigg\} \\[10pt] \implies (\mathbb{Z}_4, +) = \langle [1] \rangle $$

Dimostrazione