Sia $H$ un insieme non vuoto e sia anche un sotto dell’insieme $G$.
Sia $\mathcal{H}=(H, \cdot)$ un gruppo
Sia $\mathcal{G}=(G, \cdot)$ un gruppo
Allora e sottogruppo di $\mathcal{G}$ se e solo se per ogni elemento $a,b$ di $H$ vale che $a\cdot b^{-1}$ è contenuto in $H$.
In altre parole: presi due elementi generici di $H \in a,b$ l’operazione del gruppo $\mathcal{H}$ eseguita tra $a$ e l’inverso di $b$, indicato con $b^{-1}$, è chiusa in $H$
$$ H \leq G \Longleftrightarrow \forall a,b \in H \ ab^{-1}\in H $$