※ 本ドキュメントの作成には生成AIを使用しています。
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位置づけ: 本ページは、分布ベースに再定義した新BPIについて、最終的な定義がどう導出されるかだけを、原典（norimiso氏「BPIについて」）の定義からの対応を取りながら通しでまとめたものである。設計上の代替案・不採用案・検討の経緯は姉妹ページ（単曲BPIの分布モデル化（ALS推定） ほか）に分けて記載している。
実装は@bpim/bpicalc、数式の対応表は docs/bpi-math.md、設計判断は決定記録 docs/decisions/0005〜0012 にある。
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現行BPI（原典および BpiCalculator）は「皆伝平均」「歴代全一」の2点アンカーと曲ごとの当てはめ係数 $\mathrm{coef}$ で各曲の形を表現する。実測により、この構造そのものに起因する次の課題が判明している。
| 課題 | 実測 | 新方式での解決 | 新方式での解消度 |
|---|---|---|---|
| 同じ実力でも曲でBPIが大きく変わる。2点アンカーが曲間で整合していない | ある能力帯のプレイヤーだけを見ても現行BPIは曲によって数十点の幅で散らばり、「BPI 50」が、ある曲では全体の上位約1%、別の曲では上位約30%のスコアに対応してしまう | スコアを母集団の能力分布上の位置（z尺度、第4章）に変換し、全曲を同一の軸に載せる | 同一実力帯の曲間BPIの標準偏差が、歪みが最も強く出る高実力帯で −37〜42%（潜在スキル最上位 2.72→1.57、総合BPI 50〜60 帯 4.23→2.66）。中位以下は元々散らばりが小さく（1.1〜1.5）不変で、この帯の残差は譜面適性・偶然による不可分成分。（§10.6–10.7） |
| 他人がWRを更新すると自分のBPIが下がる | 歴代全一のスコアはほぼ理論値の 99% 超（PGF が急激に発散する領域）に集中しており、残り数点で BPI が大きく動く。他人が全一を数点更新しただけで、自分のスコアは不変なのに高得点帯のプレイヤーの現行BPIが十数点下がることがある | BPI 0 アンカー $z_0$ を全曲共通の定数にする（第5.1章）。BPI 100 は原典の定義どおり曲ごとの実 WR に置くが、外れを $\gamma_j$ で吸収する（第6章） | BPI 0 アンカー $z_0$ が全曲共通の定数になり、自分の BPI が他人のスコアに依存しない形で構造的に解消。WR の直下にいる高実力帯の曲間SD −42% がその実測的裏付け。（§5.1 / §10.6） |
| アンカーの到達難度が曲間で不揃い | アンカーの実際の到達難度（母集団の能力分布上の位置）は曲間で大きく異なり、全一の到達難度は最も甘い曲と最も辛い曲で 2 倍以上開く | アンカーを母集団能力分布のパーセンタイル基準（$z_0$・$z_{\text{ref}}$）に統一し、$\gamma_j$ で WR 位置の外れを補正する（第5–6章） | 全一が母集団から外れた譜面群（$z_{100,j}$ 上位・$\mathrm{coef}j < 1$、約28曲）の単曲BPIが平均 +5〜7 補正され、曲別バイアスは 85% の曲で ±2 以内・62% で ±1 以内に収まる（曲別シフト vs $z{100,j}$ の相関 $r=+0.76$）。（§10.3） |
| 「BPI 0 ＝ 皆伝平均」の前提が競技実態と乖離 | 皆伝合格という関門を経由しない上手いプレイヤーが評価軸から外れる | $z_0$ をアリーナ A 帯在籍者の潜在スキル $a_i$ の中央値に置く（皆伝合格を経由しない、決定記録0007） | $z_0$ を皆伝合格を経由しない基準（アリーナ A 帯在籍者の $a_i$ 中央値）に置換。定義の変更で、検証というより設計判断。（§5.1） |
| 総合BPIの不連続性 | 未プレイ曲を −15 で埋めた符号付きべき乗平均のため、上振れ・下振れとも極値の1曲に総合が支配される。総合BPIの値域に人がほとんど居ない帯（−5〜+5 など）が生じ、1曲のスコアが数点動くだけで総合が大きく跳ねる | 全項に $c=15$ を加えて非負化し、指数を $k'$ に再校正したシフト法で集約する（第8.3章） | 総合BPIの分布が連続化。現行では総合BPI 0〜10 帯に 12 人しか居ないのに対し新方式は 338 人（別母集団の複合検証では [-15,-10) 帯 39.9%→2.5%、断崖だった [-5,+5) 帯 0→18.8%）。（§8.3 / §10.7 / ‣） |
上記はいずれも係数の再校正では解決せず、曲の形を分布そのもの（$\mu_j, \sigma_j$）から表現する構造への置き換えを要する。以降がその最終形の導出である。
新BPIは、単曲ごとに実際のスコア分布から2母数（位置 $\mu_j$・弁別力 $\sigma_j$）を推定し、プレイヤーの潜在スキル $a_i$ を直接推定する潜在能力モデルに基づく。原典の PGF・単曲BPI・総合BPIの骨格（対数比のべき乗、WR＝BPI100、シフト法の総合集約）は保持し、曲間で整合しなかった2点アンカーを、母集団の能力分布上の位置（z尺度）と全曲共通の基準に置き換える。
導出は次の連鎖からなる。
$$ s_{ij}\ \xrightarrow{\ t=-\ln(m-s)\ }\ t_{ij}\ \xrightarrow{\ \text{ALS}\ }\ (\mu_j,\sigma_j,a_i)\ \xrightarrow{\ z=(t-\mu)/\sigma\ }\ z_{ij}\ \xrightarrow{\ (z_0,\ z_{100,j},\ k_j)\ }\ \mathrm{BPI}_{ij}\ \xrightarrow{\ \hat a_i^{\text{shrunk}}+\text{shift}\ }\ \mathrm{BPI}^{\text{total}}_i $$
効果検証（第10章、ローカルDB v33・☆11+☆12・1,587人・約109万スコア）では、単曲BPIの現行との平均差分は +0.57点（効果量 $d\approx0.28$・小）で、差分は「全一が母集団から見て外れ値の曲」に構造的に集中する。
原典[1] は単曲BPIを、皆伝平均スコア $k$（BPI 0）・歴代全一スコア $z$（BPI 100）・自分のスコア $s$ の3点を PGF（Pika-Great-Function）に通した対数比のべき乗で定義する。
$$ \mathrm{PGF}(x') = \frac{0.5}{1 - x'} = \frac{m}{2\,(m - s)},\qquad x' = \frac{s}{m},\quad m = 2\,\mathrm{notes} $$
$$ \mathrm{BPI}^{\text{原典}} = \pm\,100\left(\frac{\ln\!\big(\mathrm{PGF}(s)/\mathrm{PGF}(k)\big)}{\ln\!\big(\mathrm{PGF}(z)/\mathrm{PGF}(k)\big)}\right)^{1.5} $$
総合BPIは、未プレイ曲を $-15$ で埋めた符号付きべき乗平均。順位は基準人数 2616 の指数モデル。
$$ \mathrm{BPI}^{\text{total}} = \left(\frac{1}{n}\sum_{a=1}^{n}\operatorname{sign}(\mathrm{BPI}_a)\,|\mathrm{BPI}_a|^{\kappa}\right)^{1/\kappa},\quad \kappa = \log_2 n \qquad\qquad \text{単曲順位} = 2616^{\,(100 - \mathrm{BPI})/100} $$