Siano $m_1,m_2,...,m_k$ numeri $\in A$ a due a due coprimi dove $A$ è un qualsiasi anello commutativo con unità.
$MCD(m_a,m_b)=1,a\ne b$
Per ogni scelta di $\alpha_k \in A$ poniamo un sistema di congruenze lineari: (lineare perché il grado della nostra incognita è 1)
$$ \begin{cases} x \equiv b_1 \pmod{m_1} \\ ... \\ x \equiv b_k \pmod{m_k} \end{cases} $$
Allora tale sistema ammette una e una sola soluzione $mod\space N$.
Meglio dire $\exist_{x\in A}\space x=x_0+kN$ che soddisfa il sistema.
Per risolvere il sistema non si va a tentativi.
Esiste una formula esplicita basata sull’identità’ di Bézout.
$N=\prod_i^kn_i$ (Questo e’ proprio il minimo comune multiplo tra tutti i moduli)
Per ogni $1\leq i\leq k$:
$N_i=\frac N n_i$ (Intuitivamente $N$ e’ il prodotto di tutti i moduli tranne $n_i$)
$y_i$ è il numero tale che: (è l'inverso moltiplicativo di $N_i$ modulo $n_i$)
$N_i\cdot y_i\equiv1mod(m_i)$
$y_i=N_i^{-1}\space mod(m_i)$ Da controllare se questa notazione sia valida
$$ x \equiv \sum_{i=1}^{k} b_i \cdot N_i \cdot y_i \pmod{N}
$$