10_簡單線性迴歸

核心表格

核心主題	主要觀點／方法	實務用途	重要條件／限制／延伸
簡單線性迴歸	用一個 independent variable x 預測 dependent variable y	銷售、成本、工時、需求等預測	先確認兩變數關係近似線性
迴歸方程	`ŷ = b + mx`	由已知 x 估計 y	斜率是每增加 1 單位 x 時預測 y 的平均變化
Least squares	選擇使殘差平方和最小的直線	建立 best-fit line	仍會留下 residual，不代表所有點都在線上
R²	衡量 y 的變異中有多少可由模型中的 x 解釋	評估模型 goodness of fit	範圍 0–1；高 R² 也不等於因果或模型一定有效
Residual	`yi − ŷi`	檢查模型沒有捕捉到的誤差結構	理想殘差應在 0 周圍隨機散布
Constant variance	殘差散布不應隨 x 系統性變大／變小	判斷線性模型是否合理	漏斗形 residual plot 是警訊
Standardized residuals	把殘差轉成標準單位	檢查 outliers 與線性	原書以超出 ±3 standard units 作為 outlier 警訊
Excel Regression	Scatterplot + Trendline 或 Data Analysis → Regression	建立方程、R²、residual plots	必須正確指定 X／Y、標籤與單位

第 10 章把第 9 章的「兩變數是否一起變動」推進到「能不能用 x 預測 y」。核心不是只取得一條直線，而是依序完成：看散佈圖 → 確認 x／y → 建立迴歸式 → 看 R² → 檢查 residuals／outliers → 模型通過診斷後才做 prediction。

原書以 y=mx+b 說明簡單線性迴歸。m 是 slope，描述 x 每增加一單位時預測 y 的變化量；b 是 y-intercept，也就是 x=0 時直線的 y 值。原書提醒：若 x=0 在真實情境中沒有實際意義，截距即使數學上存在，也不一定有管理意義。

Coefficient of determination（R² 或 r²）描述 y 的變異有多少比例可由模型中的 x 解釋，範圍 0–1。R² 越高通常代表線性擬合較強，但不能因此推論因果，也不能取代殘差診斷。模型可能有不錯 R²，卻仍因非線性、異質變異或離群值而不適合預測。

Residual 是實際值與模型預測值的差：yi−ŷi。原書要求檢查 residuals 是否近似常態、是否在 0 周圍隨機散布、變異是否大致固定，以及 standardized residuals 是否出現超過 ±3 的極端值。曲線、漏斗形或連續正／負群聚都表示模型可能遺漏系統性結構。

Scatter plot → Add Trendline → Linear → 顯示 equation 與 R-squared。
Data → Data Analysis → Regression，可取得更完整輸出。
Input Y Range 放 dependent variable；Input X Range 放 independent variable。
需要檢查模型時勾選 Residuals、Residual Plots、Standardized Residuals；必要時查看 Normal Probability Plot。