14_非線性迴歸

核心表格

模型	原書形式	適合觀察的型態	原書 Excel／案例提示
Power	`y = ax^b`	x 的冪次關係	原書示例 `y = 3.2x^1.67`；x=3 時 Excel 算得約 20.04
Polynomial	二階：`y=ax²+bx+c`；三階：`y=dx³+ax²+bx+c`	彎曲、peak／trough、S-shape	原書：簡單 curve 可試二階，peak＋trough／S-shape 可試三階
Exponential	`y = ae^(bx)`	加速成長或衰減	正 b 可呈 growth；負 b 可呈 decay
Logarithmic	`y = a ln(x) + b`	以 natural log 描述非線性關係	原書舉例地震尺度、複利、CO₂、放射性衰變等
R²	比較不同 trendline 對 y variation 的解釋程度	初步比較 model fit	原書強調 R² 高之後仍應考慮簡潔度
Residual plots	檢查 residual 是否 random	判斷模型是否遺漏 systematic structure	殘差若出現規律 pattern，表示模型可能不適合
Parsimony	相近 fit 下選較簡單的模型	避免不必要的高階 polynomial	原書 advertising 範例：linear 與 third-order polynomial 都約 77% R²，最後選 linear

章節定位

第 14 章處理「x 與 y 的關係不是直線」時的 regression。原書集中介紹 Power、Polynomial、Exponential、Logarithmic 四種常見 nonlinear trendline，並把 Excel scatterplot＋trendline 作為主要探索工具。這章的核心不是尋找最複雜曲線，而是比較 fit、觀察 residuals，再選擇足以解釋資料的最簡單模型。

Power、Polynomial、Exponential、Logarithmic

Power 的形式是 y=ax^b，x 出現在冪次的底數；原書示例 y=3.2x^1.67。Polynomial 會依 order 加入 x²、x³ 等項；原書指出簡單 bulge 可先考慮 second-order，而包含 peak 與 trough／S-shape 時可試 third-order。Exponential 的形式是 y=ae^(bx)，b 的正負可形成成長或衰減。Logarithmic 使用 natural logarithm，形式如 y=a ln(x)+b。

模型不是越複雜越好

原書明確提出：加入更高次方後，模型會變得更複雜。選模應先觀察 scatterplot，嘗試合理的 trendlines，再比較 R²；如果數個模型的 fit 接近，通常選較簡單者。第 14 章 advertising→sales 範例中，simple linear 與 third-order polynomial 的 R² 都約 77%，原書因此選擇 simple linear regression。

R² 還不夠：Residual analysis

原書再以 Coca-Cola revenue 為例比較 linear、second-order polynomial、exponential 與 third-order polynomial residual plots。前三種 residuals 呈 systematic structure，而 third-order polynomial 較 random，因此 residual analysis 支持第三階模型。原書同時提醒這個例子只有 23 values，判斷要保持謹慎。這說明：parsimony 並不是永遠選最簡單，而是在 fit 與 residual diagnostics 都合理的前提下選最簡單。

Excel 實務

將 x 放第一欄、y 放第二欄。
Insert → Scatter，選只有 markers 的圖。
右鍵資料點 → Add Trendline。
依序嘗試 Linear／Power／Polynomial／Exponential／Logarithmic。
勾選 Display Equation on chart 與 Display R-squared value on chart。